設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，和分別是點(diǎn)M與點(diǎn)的距離。求證，其中e是離心率。

橢圓上任一點(diǎn)M與焦點(diǎn)F1或F2的距離，叫做橢圓的焦半徑，也稱為左焦半徑，為右焦半徑。

解法1：由橢圓的定義有：

故只要設(shè)法用等表示出（或），問題就可迎刃而解。

由題意知，

兩式相減得

聯(lián)立<1>、<2>解得：

解法2：設(shè)焦點(diǎn)

則，即

另有

<2>÷<1>得：

<1>、<3>聯(lián)立解得：

解法3：推敲的溝通渠道，應(yīng)從消除差異做起，根式中理應(yīng)代換。

由點(diǎn)M在橢圓上，易知

則

由，知

故

同理

解法4：橢圓的第二定義為求焦半徑鋪設(shè)了溝通的橋梁。

如圖，作橢圓的左準(zhǔn)線，作MH⊥于H點(diǎn)

則

即

同理可求得：

例1、在橢圓上求一點(diǎn)，使它與兩個焦點(diǎn)的連線互相垂直。

解析：設(shè)所求點(diǎn)

由得：

又

即

解得：

代入橢圓方程得：

故所求點(diǎn)M為（3，4），或（3，-4），或（-3，4），或（-3，-4）。

例2、點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，又點(diǎn)P在x軸上方，為橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，求的面積。

解析：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，

由條件，得：

依題意得：

所以

由得：

故

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